Deine Angaben widersprechen sich. Du schreibst, dass der Taster den 12V Stromkreis zur Klingel schließen würde. Dann müsste der Taster aber mit einer Seite am Potential des Trafos, entsprechend klemme 7 an deiner Klingel, und mit der anderen am Eingang klemme 4 oder 5 angeschlossen sein und nicht an den Klemmen 1 & 3.
Der potentialfrei Anschluss an den Klemmen 1 und 2 bzw. 1 und 3 ist in nahezu keinem Fall kompatibel zur Ring. Nur die Potentialbehaftet Variante kann (!) bei entsprechendem Widerstand in der Klingel zum Erfolg führen.
Also erst einmal auf diese Variante umverdrahten und dann mit der Ring ausprobieren. Ggf. ist eine Erhöhung der Stromaufnahme durch einen vorwiderstand oder ein relais erforderlich, aber in jedem Fall vorher erst einmal richtig anschließen und ausprobieren!