So, hier ein Lösungsvorschlag:
Vorbemerkung:
Die erforderliche Linienladungsdichte ist eigentlich negativ, da die positiv geladene Spitze ja angezogen werden muss. Aus Gründen der Einfachheit rechne ich hier aber mit dem Betrag der Linienladungsdichte, den ich mit dem Symbol „lambda“ bezeichne:
[math]\lambda[/math]Entsprechendes gilt für die (infinitesimal) kleine Ladung dQ.
Betrachten wir nun einen kleinen Abschnitt des Kreisrings mit der Länge dl, der die Ladung dQ trägt. Für diese Ladung gilt:
[math]\mathrm{d}Q=\lambda\cdot\mathrm{d}l[/math]Die Kraft dF, mit der sich die positiv geladene Spitze (Ladung Qs) und die kleine Ladung dQ anziehen, kann mit Hilfe des Coulombschen Gesetzes berechnet werden:
[math]dF=\frac{Q_s}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_rd^2}\cdot\mathrm{d}Q
=\frac{Q_s\lambda}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_rd^2}\cdot\mathrm{d}l[/math]Dabei ist d der Abstand vom Kreisring (Radius r) zur Schwertspitze:
[math]d=\sqrt{r^2+h^2}[/math]Summiert (integriert) man nun alle Kraftbeiträge entlang des gesamten Kreisrings auf, so heben sich die waagrechten Komponenten dieser Kräfte auf. Daher ist von der Kraft dF nur die senkrechte Komponente dFz interessant:
[math]\mathrm{d}F_z=\mathrm{d}F\cdot\frac{h}{d}=\mathrm{d}F\cdot\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}[/math]
So, nun kann man schließlich alle Kraftbeiträge entlang des gesamten Kreisrings integrieren und erhält die Kraft:
[math]F_z=\int\limits_0^{2\pi r}\frac{Q_s\lambda}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\bigl(r^2+h^2\bigr)}\cdot\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}\cdot\mathrm{d}l
=\int\limits_0^{2\pi r}\frac{Q_s\lambda h}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\bigl(r^2+h^2\bigr)^\frac{3}{2}}\cdot\mathrm{d}l[/math][math]F_z=\frac{Q_s\lambda h}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\bigl(r^2+h^2\bigr)^\frac{3}{2}}\int\limits_0^{2\pi r}\mathrm{d}l
=\frac{Q_s\lambda h}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\bigl(r^2+h^2\bigr)^\frac{3}{2}}\cdot 2\pi r
=\frac{Q_s\lambda hr}{2\varepsilon_0\varepsilon_r\bigl(r^2+h^2\bigr)^\frac{3}{2}}[/math]
Dies kann man nun nach der gesuchten Linienladungsdichte auflösen:
[math]\lambda=\frac{2F_z\varepsilon_0\varepsilon_r\bigl(r^2+h^2\bigr)^\frac{3}{2}}{Q_shr}[/math]
Edit:
Nach Einsetzen der gegebenen Werte erhalte ich
[math]\lambda=0{,}0021\,\mathrm{\frac{C}{m}}[/math]