- - - Differenzialgleichungen - - -
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Theorie:
Knoten- und Maschengleichungen gelten nicht nur für die Gleichstromrechnung, sondern gleichfalls für die Wechselstromrechnung.
Für die Wechselstromrechnung kommen die sogenannten Bauelementegleichungen für Kondensator und Spule neu hinzu.
Diese Bauelementegleichungen werden auch Differenzialgleichung des idealen Kondensators und Differenzialgleichung der idealen Spule genannt. Man definiert auch für den Widerstand eine Pseudo-Differenzialgleichung, damit man eine einheitliche Formgebung für die Glieder der Gleichung bekommt.
Differenzialgleichung des idealen Kondensators: i(t)=C*[du(t)/dt]
Differenzialgleichung der idealen Spule: u(t)=L*[di(t)/dt]
Pseudo-Differenzialgleichung des Widerstandes: u(t)=R*i(t)
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Nimmt man aus Oliralfs Beispielen den unbelasteten Tiefpass,
dann kann man folgende Maschengleichung aufstellen:
Maschengleichung: ue(t) - ua(t) - uR(t) = 0
bzw. mit uR(t) = i(t)*R
ue(t) - ua(t) - i(t)*R = 0
Für i(t) bildet man folgende Gleichung: i(t) = (d/dt)q(t) = C(d/dt)uc(t) = C(d/dt)ua(t)
Setzt man diesen Ausdruck für i(t) in die Maschengleichung ein, erhält man die
Differenzialgleichung: ue(t) - ua(t) - RC(d/dt)ua(t) = 0
Oftmals wird RC durch die Zeitkonstante T ersetzt, so dass man folgende Gleichung erhält:
Differenzialgleichung ue(t) - ua(t) - T(d/dt)ua(t) = 0
Nachdem hier die Differenzialgleichung für den unbelasteten Tiefpass entwickelt wurde,
soll im nächsten Posting die entsprechende Differenzengleichung hergeleitet werden.
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